El interés es el precio que se paga por los préstamos. Si prestamos una cantidad de dinero por un año a un interés del 5% sabemos que al año nos devuelven el dinerao prestado más un 5%. Fácil. Esto es el interés simple.
El interés compuesto aparece cuando prestamos (o invertimos) el dimero por un periodo de tiempo más largo que el plazo de cobro de intereses. Por ejemplo, si ponemos un dinero a plazo fijo por, digamos, tres años a un inteés del 5% anual. Al pasar un año ganamos el 5%, pero esa ganancia pasa a engrosar el dinero invertido, lo que quiere decir que cuando llegue el segundo año el 5% que se gana es sobre una cantidad mayor que al principio, y así cada año. El resultado es que al final de los tres años no hemos ganado \(5 + 5 + 5\), sino algo más; y ese algo más es tanto mayor cuanto más tiempo va pasando o más grande es el interés.
Lo importante, y que no hay que perder de vista, es que cuando tratamos con interés compuesto, sumar y restar intereses no nos dice nada; pero nada de nada, ¿eh? No es una suma la que nos da el resultado de la inversión, sino una multiplicación; ya veréis cual más abajo.
Pero antes, y por si no estáis convencidos de la importancia de este cálculo, vamos a ver qué ocurre cuando el interés varía cada año, y en particular cuando unos años se gana (interés positivo) y otros se pierde (interés negativo), como ocurre con la inversión en bolsa, fondos de inversión, y otros.
Un ejemplo simple y brutal, exagerado quiero decir:
Invertimos 100
- ¿100 qué?
- Da igual, vecina. Euro, pesetas, dólares. Esto que estoy contando es independiente de la moneda que se use.
Como iba diciendo, invertimos 100. Si el primer año ganamos un 60% y el segundo perdemos un 40%, ¿cuánto hemos ganado (o perdido)?
Que nadie diga que hemos ganado 20 porque ya sabemos que sumar y restar intereses no funciona con el interés compuesto. ¿Será más? ¿Será menos quizá?
Bravo por los que hayan dicho "menos", porque hemos ganado menos de 20, pero mucho, mucho menos. Tanto, tanto y tanto menos, que hemos perdido. Como dicen algunos vecinos por ahí, hemos palmao pasta.
- Pero, ¿eso cómo va a ser?
- ¿Que cómo? Mira las cuentas:
El primer año ganamos 60%; no hace falta usar la calculadora para saber que tenemos 160.
El segundo año perdemos un 40%. Pero, ¡ojo! El 40% de 160. $$ 160 \times \frac{40}{100} = 64 $$ De 160 perdemos 64. O sea, que nos quedamos con 96, y una cara de tonto que ni te digo.
¿Qué ha pasado? Pues que el 40% de pérdida ha sido sobre una cantidad mucho mayor que la de inicio.
- ¿Y qué hubiera pasado si hubiera sido al revés? Primero la pérdida del 40% y luego la ganacia del 60%.
- Pues lo mismo. Mira las cuentas otra vez:
El primer año perdemos un 40%. Nos quedamos con 60.
El segundo año ganamos un 60% (sobre 60): $$ 60 \times \frac{60}{100} = 36 $$ A 60 le ganamos 36. Nos qudamos otra vez con 96.
Ya véis lo lejos que queda la respuesta fácil de "60 - 40 - 20".
Y la explicación ha sido bien sencilla, ¿no? No hay magia, ni truco; y además es razonable que el resultado sea el que es. Simplemente la mayoría de nosotros no habíamos reparado en ello.
No es que seamos tontos, vecina, no. Lo que pasa es que estamos muy bien dotados para la aritmética (sumas y restas); con muy poquito entrenamiento un niño se hace maestro en la materia. La aritmética ya casi forma parte de la naturaleza humana. Por eso cuando se nos presenta un problema en el que aparecen números, intuitivamente buscamos la solución en la aritmética, tan fácil como usar la mano para empujar el picaporte de una puerta, no tenemos ni que pensar.
Esta debilidad de nuestro cerebro ha sido explotada por los listos de todos los lugares y épocas. Ya os contaré otro día...
Volviendo a lo que nos ocupa hoy. El ejemplo que he expuesto es, como dije más arriba, exagerado. Normalmente no usamos esos tipos de interés tan altos. Si hacemos el mismo ejercicio (os invito a que lo hagáis) con 6% de subida y 4% de bajada, veréis como en esta ocasión no palmamos pasta, aunque tampoco ganamos 2 (el resultado de restar 4 de 6). Ganamos, si no me he equivocado haciendo las cuentas, 1,76. El efecto malvado de las bajadas se amortigua cuando el interés es bajito. Esto, sin duda, ha ayudado a que pasara desapercibido.
- Claro, como casi no se nota...
- Claro. Hasta que se nota.
Y esperad, que hay un ejemplo más. Un caso muy particular, y en mi opinión el más doloroso. ¿Qué ocurre si la subida y la bajada son al mismo porcentaje? ¿Qué pasa si, por ejemplo, ganamos un 10% y luego perdemos un 10% también?
Ya sabéis lo que pasa, ¿verdad? Palmamos pasta.
Con 100. Ganamos 10%. Nos quedamos con 110.
Con 110. Perdemos 10%, que son 11. Nos quedamos con 99. Menos que al principio.
Pero no os equivoquéis, este comportamiento del interés compuesto no es producto de la maldad de nadie. Ya habéis visto los cálculos. Esto es así porque tiene que ser así; no hay trampa ni cartón. De hecho, el "culpable" de que esto ocurra es precisamente la regla matemática que da título a esta entrada de blog.
Esto de invertir un dinero y cada año acumular las ganancias y volver a invertir el total es como un juego de apuestas, pero sin el "como".
¿Qué es el "doble o nada"? Pues es exactamente nuestro ejemplo anterior con un interés de bajada y subida del 100%. Si ganas, doblas. Si pierdes, te quedas sin nada.
En el Anexo a continuación lo explico todo en lenguaje algebraico, para el que se anime. No es complicado; sólo hay que sentarse, dejarse llevar por mi exposición, y pensar un poquito.
Veremos cómo evoluciona una cantidad sujeta a interés compuesto. Se trata de una progresión geométrica: cada elemento de la progresión es el resultado de multiplicar el elemento anterior por un número. Si ese número es mayor que 1, la cantidad crece; si es menor que 1, la cantidad mengua.
Y también miraremos con lupa el caso especial de subida y bajada con el mismo porcentaje de interés.
Ánimo, que lo vais a disfrutar.
¡Y no olvidéis añadir comentarios, preguntas, sugerencias... cualquier cosa!
¡Hasta la próxima!
Anexo
Un poquito de álgebra
El lenguaje algebraico se caracteriza por el empleo de símbolos. En vez de usar números o cantidades concretas escribimos letras, por ejemplo \(C\), que viene a decir "sea una cantidad C, no importas si es 100, 1000 o un millón, lo que sea, una cantidad indefinida". Y hacemos operaciones con esas letras para deducir reglas y fórmulas que luego se pueden aplicar a cualquier cantidad.Pues vamos a usar ese lenguaje en nuestro problema del interés compuesto.
Empezamos teniendo una cantidad o capital. Llamémosla \(C\).
Luego tenemos el interés. En mis tiempos se llamaba rédito, y lo representábamos con una erre minúscula: \(r\).
Y vamos a la faena. Calculemos cuánto ganamos cuando nos toca cobrar los intereses. Ganamos el porcentaje de interés sobre el capital, ¿no?
Si el capital es de 350 y el interés es el 5%, ganamos el 5% de 350, que son
$$
350 \times \frac{5}{100} = 17,5
$$
Pues con los símbolos del álgebra:
$$
C \times \frac{r}{100}
$$
¿Correcto?
La división por 100 siempre aparece mientras sigamos escribiendo el interés en tanto por ciento, por eso, para simplificar la fórmula y los cálculos, mejor expresamos el interés en tanto por uno, que es el porcentaje dividido por 100.
Por ejemplo, un porcentaje del 5% es 0,05 en tanto por uno. El 21% de IVA se traduce en 0,21 en tanto por uno. Y el 100% es 1 en tanto por uno. siempre el porcentaje dividido por cien.
Con esta corrección la fórmula de la ganancia se queda así:
$$
C \times r
$$
Ó también así:
$$
C \cdot r
$$
porque el puntito también significa "multiplicación" y es más discreto que la cruz esa que además se puede confundir con una equis.
Pero lo mejor es prescindir del puntito también y dejar la fórmula de la ganancia como sigue:
$$
Cr
$$
En álgebra, cuando dos letras aparecen juntas se entiende que van multiplicadas.
Continuemos.
¿Cuánto capital hemos acumulado? Pues lo que teníamos antes más lo que hemos ganado.
Llamemos al capital acumulado tras un año \(C_1\) para distinguirlo del capital inicial que podemos llamar \(C_0\). Y al interés del primer año lo llamamos \(r_1\), para distinguirlo del que tendremos al año siguiente, que no tiene por qué ser igual.
Pues bien, el capital tras el primer año es el capital inicial más la ganancia. Ó en lenguaje algebraico:
$$
C_1 = C_0 + C_0 \cdot r_1
$$
Podemos reducir esta fórmula un poco. ¿Veis que la suma tiene dos términos y que en ambos aparece \(C_0\)? Podemos sacar entonces \(C_0\) como factor común y dejar la fórmula bien bonita:
\begin{equation}
C_1 = C_0(1 + r_1)\label{c1}
\end{equation}
¡Uf, vecina! ¡Cuánto escribir para llegar solo a la primera etapa! Pero ahora irá todo más rápido.
Antes de seguir, una pregunta. ¿Se entiende la fórmula \eqref{c1}? Dice que el capital en un año determinado es igual al capital del año anterior multiplicado por uno más el interés (en tanto por uno).
Un ejemplo. Sea el capital inicial 350, ¿cuánto será el capital después de un año si el interés es del 4%?
Aplicando directamente la fórmula,
\begin{align*}
C_1 & = 350 \times (1 + 0,04)\\
& = 350 \times 1,04\\
& = 364
\end{align*}
¿Visto? Pues ya lo tenemos casi todo hecho. Seguid leyendo.
¿Qué pasa el siguiente año?
Llamemos \(r_2\) al interés del segundo año, y \(C_2\) al capital acumulado al final. Aplicando otra vez la fórmula \eqref{c1}, sin cortarnos, que para eso nos hemos tomado la molestia de descubrirla, tenemos
\begin{equation*}
C_2 = C_1(1 + r_2)
\end{equation*}
Y si ahora sustituimos \(C_1\) por su valor (ecuación \eqref{c1} otra vez):
\begin{equation}
C_2 = C_0(1 + r_1)(1 + r_2)\label{c2}
\end{equation}
Y fácilmente podemos deducir la fórmula para el tercer año:
\begin{equation}
C_3 = C_0(1 + r_1)(1 + r_2)(1 + r_3)\label{c3}
\end{equation}
Se ve claramente que, como regla general, el capital acumulado es el resultado de multiplicar el capital inicial por el producto
\begin{equation}
(1 + r_1)(1 + r_2)(1 + r_3)\cdots\label{p}
\end{equation}
donde los puntos suspensivos quieren decir que habrá tantos términos como años hayan pasado.
Si este producto es mayor que 1 habremos ganado algo, si es igual a 1 nos habremos quedado igual, y si es menor que 1 habremos perdido algo.
Vamos a ver un ejemplo. Digamos que hemos tenido nuestros 350 durante 8 años en un fondo de inversión cuya rentabilidad ha sido durante esos años del 4%, 5,25%, 6%, 4,15%, 5,5%, -2%, -3% y 1,25% respectivamente. ¿Cuánto hemos ganado (o perdido)?
Apliquemos primero al fórmula \eqref{p} para calcular el producto, que llamaremos \(P\), y que nos dará con exactitud el porcentaje de beneficio. \begin{align*} P & = (1+0,04) \times (1+0,0525) \times (1+0,06) \times (1+0,0415) \times (1+0,055)\\ &\quad\quad\quad \times (1-0,02) \times (1-0,03) \times (1+0.0125)\\ & = 1,04 \times 1,0525 \times 1,06 \times 1,0415 \times 1,055 \times 0,98 \times 0,97 \times 1,0125\\ & = 1,2271 \end{align*} Del resultado de ese producto, todo lo que sobre de 1 es nuestra ganancia, o sea, \(0,2271\) (en tanto por uno), ó en porcentaje, \(22,71\%\).
Y ya está todo dicho.
Bueno, falta explorar el caso especial que comentamos antes, de una ganancia y una pérdida, ambas con un mismo interés.
Llamemos al interés \(a\), y va a ser positivo el año de la subida y negativo el año de la bajada. El producto \(P\) será entonces
\begin{align*}
P & = (1 + a)(1 - a)\quad & \text{y ya tenemos el título de este artículo: suma por diferencia...}\\
& = 1^2 - a^2 & \text{...diferencia de cuadrados. Y como el cuadrado de \(1\) es \(1\)...}\\
& = 1 - a^2
\end{align*}
Pensemos un poco. \(a^2\) va a ser siempre un número positivo (todos los números cuadrados lo son), con lo cual la diferencia \(1 - a^2\) siempre va a ser menos que \(1\). O sea, que siempre, siempre, siempre se pierde cuando tenemos una ganancia y una pérdida con el mismo interés.
Y ahora sí hemos terminado.
Espero haber explicado bien el álgebra. Si no, sólo tenéis que preguntar.
